5 journées thématiques
Journée type
- 9h-12h : exposés et mini cours
- 12h30 : Repas
- Après-midi : Travail de groupe, projets
- 16h : Pause café
- 17h30-19h00 exposés et mini cours
LUNDI
Marches aléatoires et inhomogénéité
9:30 Théo Ballu (45 min) Slides
Asymptotique de fonctions de Green de marches aléatoires inhomogènes et application au modèle de tas de sable
10:15 Pause café
10:45 Lucile Laulin puis Hélène Guérin (1h30)
La marche aléatoire de l’éléphant : martingales, urnes et variable limite
16:00 Pause café
17:30 Rodolphe Garbit (45min) Slides
Sur la vitesse de convergence de la probabilité qu’une marche aléatoire sorte d’un cône après l’instant n
18:15 Andrew Elvey Price (30min)
Asymptotics of Dyck paths with time-dependent weights
MARDI
Fonctions theta en combinatoire et marches à grands pas
9:00 Cédric Boutillier (45min)
Fonctions theta de Riemann et systèmes intégrables
9:45 Béatrice de Tilière (45min)
Le modèle de dimères sur les graphes minimaux : le cas
elliptique et au-delà
10:30 Pause café
11:00 Andrew Elvey Price / Andreas Nessmann (1h)
Développement asymptotique pour des marches dans le quart de plan
16:00 Pause café
17:30 Pierre Bonnet (45min)
Structure galoisienne de l’orbite pour les marches à grands pas et applications
18:15 Thomas Dreyfus (30min) Slides
Marches dans le quart de plan et holonomie
MERCREDI
Approches analytiques, algébriques et combinatoires pour des
processus stochastiques dans des cônes
9:00 Jules Flin (30min) Slides
Probabilité d’absorption du mouvement brownien réfléchi dans un cône
9:30 Charlotte Hardouin (1h) Slides
Equations aux q-différences et mouvement brownien réfléchi dans un cône
10:30 Pause café
11:00 Sandro Franceschi (45min)
Problèmes frontières et probabilité d’évasion le long d’un axe
16:00 Pause café
17:30 Pierre Tarrago (1h)
Frontière de Martin pour une marche aléatoire dans un cône
18:30 Maxence Petit (30min) Slides
Asymptotique des fonctions de Green pour le mouvement Brownien réfléchi dans un cône
JEUDI
Combinatoire et intégrabilité
9:00 Sofia Tarricone (45min) Slides
Distance in planar maps via orthogonal polynomials
9:45 Thomas Chouteau (45min)
Relation de récursion pour des déterminants de Toeplitz et la hiérarchie discrète de Painlevé II
10:30 Pause café
11:00 Quentin François (45h) Slides
Asymptotic analysis of the characteristic polynomial for the Elliptic Ginibre Ensemble
16:00 Pause café
17:30 Harriet Walsh (30min)
Partitions et matrices aléatoires « à plusieurs coupures »
18:00 Baptiste Louf (30min)
Nombres de Hurwitz et partitions d’entiers
VENDREDI
Autour de la transformation de Pitman
9:00 François Chapon (45min)
Théorème de Pitman et déformation de marches quantiques
9:45 Kilian Raschel (45min)
Systèmes dégénérés de trois particules en interaction et fonctions thêta
10:30 Pause café
Résumés
LUNDI
Marches aléatoires et inhomogénéité
Théo Ballu
Asymptotique de fonctions de Green de marches aléatoires inhomogènes et application au modèle de tas de sable
Un célèbre théorème de Ney et Spitzer de 1966 fournit l’asymptotique de la fonction de Green de marches aléatoires sur Z^2, dans le but de calculer leurs frontières de Martin. En 2020, Alevy et Mkrtchyan ont établi un lien entre fonctions de Green de marches aléatoires et la forme limite du tas de sable abélien (dans sa version « leaky ») sur Z^2. Dans cet automate cellulaire issu de la physique statistique, on place des grains de sable sur les sommets d’un graphe, puis les sommets distribuent du sable à leurs voisins jusqu’à stabilisation du tas de sable. Dans le cas classique, l’étude de la forme du tas obtenu après stabilisation est un problème ouvert délicat. Dans le cas « leaky », où du sable est perdu à chaque fois qu’un sommet en distribue à ses voisins, Alevy et Mkrtchyan obtiennent une description de la forme limite en introduisant une marche aléatoire dont ils relient la fonction de Green à la fonction odomètre du tas de sable.
Je présenterai mes travaux consistant à généraliser le théorème de Ney et Spitzer à des processus Markov additifs, qui sont des marches aléatoires modulées par un ensemble (fini dans notre cas), puis nos travaux en cours dont le but est d’exploiter ce résultat pour généraliser les travaux d’Alevy et Mkrtchyan à des tas de sable associés à des processus Markov additifs, ce qui fournirait une exemple de description de forme limite pour un modèle de tas de sable non homogène.
Lucile Laulin et Hélène Guérin
La marche aléatoire de l’éléphant : martingales, urnes et variable limite
La marche aléatoire de l’éléphant a été introduite au début des années 2000 par des physiciens. Cette marche aléatoire garde à chaque instant la mémoire de tout son passé et son comportement dépend d’un paramètre de mémoire. Elle possède trois régimes de comportement asymptotique : diffusif, critique et super-diffusif.
Plusieurs variantes de cette marche ont été étudiées mais dans cette présentation on se concentrera principalement sur la marche de l’éléphant classique. On commencera par introduire le modèle, puis on expliquera comment une approche martingale permet de l’étudier et comment cette approche s’étend aux variantes de la marche. On mentionnera aussi le lien avec les marches aléatoires renforcées et les arbres aléatoires récursifs avec percolation de Bernoulli. Ensuite, on expliquera le lien avec les urnes de Polya qui nous permettra d’obtenir une équation de point fixe sur la variable aléatoire limite qui apparait dans le régime super-diffusif. De l’équation de point fixe on déduira des informations sur la loi de cette variable limite. Si le temps le permet, on reviendra par la suite à la marche en temps fini et on introduira des polynômes en lien avec sa fonction caractéristique dans le but d’étudier la loi à chaque instant.
Rodolphe Garbit
Sur la vitesse de convergence de la probabilité qu’une marche aléatoire sorte d’un cône après l’instant n
On s’intéresse à la vitesse de décroissance de la probabilité qu’une marche aléatoire avec dérive sorte d’un cône fixé après l’instant n. Sous certaines hypothèses de moments et d’adaptation de la marche au cône, on démontre que cette probabilité est le produit d’un terme exponentiel A^n et d’un terme qui tend vers 0 (non exponentiellement).
Pour une marche dont la dérive n’est pas à l’intérieur du cône, le taux exponentiel A est donné par le minimum de la transformée de Laplace sur le cône dual. Lorsque la dérive est à l’intérieur du cône, le taux semble être donné par un certain max-min de la transformée de Laplace. On le démontre dans le cas où le cône est une intersection finie de demi-espaces.
Ces résultats sont motivés par des applications en combinatoire. En particulier, pour les marches à petits pas confinées dans un orthant, ils résolvent la question du calcul du taux de croissance du nombre de marches de longueur n, et prouvent la non rationalité de la fonction génératrice associée.
Il s’agit d’un travail commun avec Kilian Raschel.
Andrew Elvey Price
Asymptotics of Dyck paths with time-dependent weights
We consider the enumeration of Dyck paths with weights depending linearly on the current position and time. I will discuss a method developed in collaboration with Wenjie Fang and Michael Wallner for determining the associated asymptotic behaviour in certain cases, including several where a stretched exponential appears. This has been applied to the asymptotic enumeration of compacted trees, tree-child networks, acyclic finite state automata and young tableaux with walls.
MARDI
Fonctions theta en combinatoire et marches à grands pas
Béatrice de Tilière
Le modèle de dimères sur les graphes minimaux : le cas
elliptique et au-delà
Le modèle de dimères représente la répartition de molécules diatomiques sur la surface d’un cristal. Ceci est modélisé par des couplages parfaits d’un graphe planaire choisis selon la mesure de Boltzmann. Lorsque le graphe est périodique, Kenyon, Okounkov et Sheffield montrent que le diagramme de phase est donné par la courbe spectrale, qui a la propriété remarquable d’être de Harnack. Un autre résultat important est l’expression locale obtenue par Kenyon pour une mesure de Gibbs lorsque le graphe sous-jacent est isoradial et le modèle est critique. Dans une série de travaux avec Cédric Boutillier (Sorbonne université) et David Cimasoni (Université de Genève), nous étendons ces résultats dans un cadre unifié. Nous considérons le modèle de dimères sur les graphes minimaux avec poids de Fock et prouvons une correspondance explicite avec l’ensemble des courbes de Harnack; nous prouvons aussi des formules locales pour la famille à deux paramètres de mesures de Gibbs.
Cédric Boutillier
Fonctions theta de Riemann et systèmes intégrables
Nous présentons les fonctions theta de Riemann, généralisations multidimensionnelles des fonctions theta de Jacobi. Nous en donnons les propriétés essentielles et expliquerons comment les utiliser pour construire des fonctions méromorphes à poles et zéros fixés. Puis nous passons en revue leur utilisation pour construire explicitement des solutions à certaines équations (de type EDP, comme KdV, ou de type discret), donnant un aperçu de « l’intégrabilité algebro-géométrique », développée par l’école de Saint-Pétersbourg des systèmes intégrables à partir des années 1980.
Andrew Elvey Price / Andreas Nessmann
Développement asymptotique pour des marches dans le quart de plan
Nous considérons l’énumération des marches dans le quart de plan avec petits pas et leurs asymptotiques. Dans les cas où le groupe du marche est fini, un développement asymptotique peut être trouvé de plusieurs façons, comme par exemple avec ACSV ou des méthodes de sommation orbite. Les modèles avec un groupe infini, par contre, se sont avérés être largement plus difficiles à étudier. Dans cet exposé, nous présenterons une méthode utilisant des fonctions Jacobi theta qui nous permet de trouver un développement asymptotique pour certains modèles avec groupe infini. Contrairement au cas du groupe fini, on verra que dans ce développement ils se trouvent des termes logarithmiques. Malgré cette différence, la structure reste un peu similaire dans le sens que la dépendance du point final est exprimée par des fonctions polyharmoniques.
Pierre Bonnet
Structure galoisienne de l’orbite pour les marches à grands pas et applications
Dans le cadre de l’étude des équations fonctionnelles des marches dans le quart de plan à petits pas, on considère pour chaque modèle un groupe appelé le groupe de la marche. Ce groupe donne des transformations birationnelles pour opérer des changements de variables sur l’équation, et donne une partie de la caractérisation des modèles à petits pas (par exemple, le groupe est fini si et seulement si la série est différentiellement finie). L’extension de la partie « changements de variables » dans le cadre de grands pas par Bostan, Bousquet-Mélou et Melczer s’appelle l’orbite, mais n’a essentiellement qu’une structure de graphe. Dans cet exposé, je montre comment on peut munir en général une telle orbite d’une structure galoisienne, ce qui fournit un groupe sur cette orbite qui étend le groupe des petits pas de manière satisfaisante. À partir de cette nouvelle structure, je traite de manière systématique les questions de constructions d’invariants et de découplage pour les modèles à grands pas, qui trouvent des applications dans les preuves d’algébricité de certains modèles.
Thomas Dreyfus
Marches dans le quart de plan et holonomie
Dans cet exposé j’expliquerai comment l’analyse complexe permet de déterminer quelles sont les marches holonomes. Avec Kilian Raschel et Andrew Elvey Price.
MERCREDI
Approches analytiques, algébriques et combinatoires pour des
processus stochastiques dans des cônes
Jules Flin
Probabilité d’absorption du mouvement brownien réfléchi dans un cône
On considère le mouvement brownien réfléchi dans un cône (en dimension 2), et on s’intéresse à la fonction qui à une position initiale associe la probabilité que le processus soit absorbé à l’origine. On établira par de la méthode des invariants de Tutte et à l’aide de considérations analytiques une condition nécessaire et suffisante pour que cette dernière s’écrive comme une somme d’exponentielles.
On donnera dans ce cas des formules explicites grâce à la méthode dite « de compensation ».
Travail en collaboration avec Sandro Franceschi.
Charlotte Hardouin
Equations aux q-différences et mouvement brownien réfléchi dans un cône
Dans un récent article en collaboration avec Mireille Bousquet-Mélou, Andrew Elvey Price, Sandro Francheschi, et Kilian Raschel, nous avons établi une classification algébrique de la transformée de Laplace de la distribution stationnaire d’un mouvement brownien réfléchi dans un cône en tant que fonction rationnelle, algébrique, holonome, différentiellement algébrique ou différentiellement transcendante. Dans les quatre premiers cas, cette classification est équivalente à une expression simple de la transformée en termes de fonctions spéciales telles que les fonctions rationnelles ou hypergéométriques.
Dans cet exposé, nous montrerons qu’un tel résultat combine une approche analytique, des notions d’invariants combinatoires dus à Tutte et de la théorie de Galois classique et différentielle.
Sandro Franceschi
Problèmes frontières et probabilités d’évasion le long d’un axe
Nous présenterons brièvement la théorie des problèmes frontière de Riemann et Carleman qui peuvent être résolus grâce aux formules de Sokhotski-Plemelj. Pour illustrer l’utilité de cette théorie, nous montrerons comment elle permet de calculer explicitement la probabilité d’évasion le long d’un axe de processus de Lévy réfléchis dans le quadrant.
Pierre Tarrago
Frontière de Martin pour une marche aléatoire dans un cône
Dans cet exposé, j’expliquerai l’intérêt des fonctions harmoniques pour le conditionnement d’une marche à rester dans un domaine, ainsi que la théorie de la frontière de Martin permettant de décrire ces fonctions. Puis je présenterai des résultats récents sur la description de cette frontière de Martin pour une marche aléatoire sans dérive dans un cône convexe (travail en collaboration avec Jetlir Duraj, Kilian Raschel et Vitali Wachtel). Si le temps le permet, j’aborderai également le cas plus difficile et non élucidé de la frontière de Martin espace-temps, une objet qui permet un conditionnement plus fin de la marche aléatoire.
Maxence Petit
Asymptotique des fonctions de Green pour le mouvement Brownien réfléchi dans un cône
Après une brève introduction au mouvement Brownien réfléchi dans un cône en dimension 2, l’exposé s’attardera sur son comportement dans le cas transient via l’étude de l’asymptotique des fonctions de Green associées au processus (travail en collaboration avec Irina Kourkova et Sandro Franceschi). L’exposé fera écho à la présentation de Pierre Tarrago sur la frontière de Martin, en tant qu’exemple mais cette fois ci temps et espace d’état continus. Grâce une équation fonctionnelle, des outils d’analyse complexe et la méthode du point col, nous verrons en quoi les réflexions sur les bords influent sur l’asymptotique des fonctions de Green et sur la frontière de Martin.
JEUDI
Combinatoire et intégrabilité
Sofia Tarricone
Distance in planar maps via orthogonal polynomials
In this talk we will give an overview of some known results concerning integrable features of the (integrated) two-point function for planar quadrangulations. In particular, we will see how these functions are related to the coefficients of the three terms recurrence relation of the family of orthogonal polynomials taken with respect to a specific measure, a deformation of the Wigner semi-circle law. Using standard techniques from orthogonal polynomials we will then see how the known results described before could be reproved and also improved to more general cases (beyond the quadrangulations). This is based on work in progress with Jérémie Bouttier.
Thomas Chouteau
Relation de récursion pour des déterminants de Toeplitz et la hiérarchie discrète de Painlevé II
Avec l’étude de partitions aléatoires, Betea, Bouttier et Walsh ont présenté une relation entre l’analogue d’ordre supérieur de la distribution de Tracy-Widom et certains déterminants de Toeplitz décrivant les probabilités de trou pour le modèle de partitions dans un régime multicritique. La distribution de Tracy-Widom et ses analogues d’ordre supérieur étant liés à la hiérarchie de Painlevé II, il est naturel de se demander si la hiérarchie discrète de Painlevé II apparait aussi pour décrire des quantités reliées aux déterminants de Toeplitz. En étudiant le problème de Riemann-Hilbert pour les polynômes orthogonaux sur le cercle unitaire liés à ces déterminants de Toeplitz, nous présentons une nouvelle paire de Lax pour la version discrète de la hiérarchie de Painlevé II. Cette hiérarchie est obtenue en étudiant la condition de compatibilité pour la paire de Lax et définie comme un opérateur récursif itéré N fois (2N-ième étant l’ordre de la N-ième équation discrète de la hiérarchie). Nous présentons aussi la relation qu’il existe entre notre paire de Lax et celle introduit initialement par Cresswell et Joshi pour décrire la hiérarchie discrète de Painlevé II. Enfin nous présentons aussi une conjecture concernant les comportements asymptotiques des solutions de la hiérarchie. Ce travail a été réalisé avec Sofia Tarricone (IPHT).
Quentin François
Asymptotic analysis of the characteristic polynomial for the Elliptic Ginibre Ensemble
The purpose of this talk is to show the convergence of the characteristic polynomial of random matrices sampled from the Elliptic Ginibre Ensemble, a model that interpolates between Ginibre and Gaussian Unitary Ensembles. The proof consists in two main steps: a control on the second moment using asymptotics of Hermite polynomials and the study of the fluctuations of traces using combinatorial arguments. We will expose each part of the proof together with future perspectives for the continuation of this work.
Harriet Walsh
Partitions et matrices aléatoires « à plusieurs coupures »
Je parlerai d’une famille de mesures sur les partitions d’entiers qui correspondent à certains modèles de fermions libres et de matrices unitaires aléatoires, et du comportement de bord qu’elles engendrent. Avec Dan Betea et Jérémie Bouttier, on a montré que ces mesures donnent lieu à des fluctuations de bord asymptotiques universelles sous l’hypothèse qu’un domaine associé à la mesure (dite la “mer de Fermi”) n’a qu’une seule coupure. Je montrerai que, dans le cas où ce domain a plusieurs coupures, le comportement de bord échappe l’universalité, et je discuterai des liens avec modèles de matrices aléatoires où le support de la densité limite des valeurs propres a plusieurs coupures.
Baptiste Louf
Nombres de Hurwitz et partitions d’entiers
Dans cet exposé je parlerai des nombres de Hurwitz, qui comptent des revêtements ramifiés de la sphère par d’autres surfaces, et de leur comptage en tout genre grâce à une curieuse identité combinatoire faisant intervenir les partitions d’entiers. J’évoquerai un modèle de partitions aléatoires (travail commun avec Guillaume Chapuy et Harriet Walsh), l’algorithme RSK et un problème ouvert bijectif …
VENDREDI
Autour de la transformation de Pitman
François Chapon
Théorème de Pitman et déformation de marches quantiques
On présentera le théorème de Pitman (1975) qui énonce qu’un mouvement brownien moins deux fois son minimum courant est un processus de Markov (le Bessel 3). La preuve originel de Pitman repose sur une version discrète du résultat : la transformée de Pitman d’une marche aléatoire sur Z est une chaîne de Markov correspondant à une marche aléatoire conditionnée à rester positive. Les probabilités de transition de cette marche conditionnée s’interprète naturellement en théorie des représentations du groupe SU(2) par produit tensoriel de représentations irréductibles. On verra alors comment le théorème de Pitman apparaît naturellement par déformation de marches quantiques.
Kilian Raschel
Systèmes dégénérés de trois particules en interaction et fonctions thêta
L’utilisation des fonctions thêta a une longue tradition en probabilités, particulièrement pour le mouvement brownien, par exemple pour décrire la loi du brownien dans un intervalle. La raison intuitive est claire : les fonctions thêta et le mouvement brownien sont tous deux liés à l’équation de la chaleur. Dans ce travail en cours avec Sandro Franceschi, Tomoyuki Ichiba et Ioannis Karatzas, nous proposons un nouveau lien entre fonctions thêta et mouvement brownien, en étudiant le processus des écarts dans un système dégénéré de trois particules en interaction. Nous démontrons que la densité invariante peut être calculée au moyen de certaines fonctions thêta modifiées bivariées. De plus, les paramètres du modèle se reflètent naturellement dans les propriétés analytiques de ces fonctions thêta.